Zahlensysteme sind Methoden zur Darstellung von Zahlen. Verschiedene Kulturen und technologische Bedürfnisse haben zur Entwicklung einer Vielfalt von Zahlensystemen geführt. Sie reichen von einfachen Strichzählungen bis hin zu komplexen digitalen Codierungen.

Grundlegende Zahlenformen

Ganzzahlen

Beispiele: -3, 0, 42. Ganze Zahlen ohne Bruchteil.

Festkommazahlen

Beispiele: 3.14, -0.001. Zahlen mit einer festen Anzahl von Dezimalstellen.

Gleitkommazahlen

Beispiele: 1.23e4 (entspricht 12300). Zahlen mit variabler Anzahl von Dezimalstellen.

Buchstaben

Beispiele: A, b, Я. Zeichen, die keine Zahlen sind, aber in manchen Zahlensystemen verwendet werden.

Wichtige Zahlensysteme

Dezimalsystem

Anzahl Zeichen: 10 (0 bis 9)
Grundlage: 10 Finger, daher weit verbreitet.

Binärsystem

Anzahl Zeichen: 2 (0 und 1)
Verwendung: In der Computertechnik für digitale Zustände (An/Aus, 0/5V, 0/3.3V).

Oktalsystem

Anzahl Zeichen: 8 (0 bis 7)
Besonderheit: Eine Oktalstelle umfasst genau 3 Bit.

Hexadezimalsystem

Anzahl Zeichen: 16 (0 bis 9 und A bis F)
Besonderheit: Eine Hexadezimalstelle umfasst genau 4 Bit.

Dezimal	Binär	Hexadezimal	Oktal
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	8	10
9	1001	9	11
10	1010	A	12
11	1011	B	13
12	1100	C	14
13	1101	D	15
14	1110	E	16
15	1111	F	17
16	10000	10	20

Probiere die Umrechnung direkt aus:

Ganzzahlen und ihre Darstellung

Dezimal

Bereich: 0 bis n
Beispiel: 42

Binär

1 Byte: 0 bis 255
2 Bytes: 0 bis 65535
4 Bytes: 0 bis etwa 4 Milliarden (Unsigned Integer)

Binary Coded Decimal (BCD)

Beispiel: 77 = 0111 0111

Negative Zahlen im Binärsystem

Ganzzahlen mit Vorzeichen (signed) speichert ein Computer fast immer im Zweierkomplement. Die Bitbreite ist dabei fest, z. B. 8 Bit. Das höchstwertige Bit (MSB) zeigt das Vorzeichen: 0 steht für positiv, 1 für negativ.

Zweierkomplement bilden

Den Betrag binär in der festen Bitbreite schreiben: 5 = 0000 0101
Alle Bits umkehren, das ergibt das Einerkomplement: 1111 1010
1 addieren: 1111 1011 = -5

Der Rückweg funktioniert genauso: Das Zweierkomplement von 1111 1011 ist wieder 0000 0101, also 5. Schneller geht die Probe über die Stellenwerte: Das MSB zählt negativ, bei 8 Bit also -128. 1111 1011 ist -128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = -5.

Wertebereich

Mit n Bit reicht das Zweierkomplement von $-2^{n-1}$ bis $2^{n-1} - 1$ . Es gibt eine negative Zahl mehr als positive, weil die 0 bei den positiven mitzählt.

Bitbreite	ohne Vorzeichen (unsigned)	mit Vorzeichen (Zweierkomplement)
8 Bit	0 bis 255	-128 bis 127
16 Bit	0 bis 65.535	-32.768 bis 32.767
32 Bit	0 bis 4.294.967.295	-2.147.483.648 bis 2.147.483.647

Wird der Bereich überschritten, entsteht ein Überlauf: In 8 Bit ergibt 127 + 1 = 0111 1111 + 1 = 1000 0000, also -128.

Warum Zweierkomplement?

Nur eine Null: 0000 0000. Beim Vorzeichen-Betrag (MSB als Vorzeichen, Rest als Betrag, -5 = 1000 0101) und beim Einerkomplement gibt es dagegen +0 und -0.
Subtraktion als Addition: Das Rechenwerk braucht keine eigene Subtraktion. 7 - 5 wird zu 7 + (-5): 0000 0111 + 1111 1011 = 1 0000 0010. Der Übertrag über die 8. Stelle fällt weg, übrig bleibt 0000 0010 = 2.

Buchstaben und Zeichencodierung

ASCII

Verwendung: Standardisierte Codierung für lateinische Buchstaben und Zeichen.

Unicode

Verwendung: Umfassende Codierung für Schriftzeichen vieler Sprachen und Symbole.